Modèles et fondamentaux en électromagnétisme

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Nouvelles approches d’homogénéisation

Les nouveaux effets physiques de la photonique moderne sont le résultat de résonances engendrées ou modifiées par la structuration des matériaux : miroirs de Bragg, réseaux de diffraction, cristaux photoniques, métamatériaux, plasmonique et métasurfaces.
Une modélisation simple de ces effets par un nombre réduit de paramètres effectifs homogènes nécessite d’imaginer de nouvelles approches d’homogénéisation qui restent valides aux fréquences de résonances ou en régime de Bragg.
Les recherches menées à l’Institut Fresnel ont permis de proposer plusieurs solutions originales, notamment en collaboration avec l’université d’Akron (USA) et les départements de mathématiques appliquées d’Imperial College London et de Liverpool University (UK).
Figure 1.2 : indice effectif d'un multicouche déterminé par i) un calcul exact (courbes noires) et ii) par une propriété de causalité et les relations de Kramers-Kronig (croix bleues).Une première approche a permis de modéliser des structures périodiques 1D (multicouches) ou 2D (cristaux photoniques) en prenant en compte l’effet des interfaces, et obtenir par exemple les coefficients de réflexion et de transmission. Ces nouvelles méthodes reposent sur la définition et le calcul de plusieurs paramètres effectifs, éventuellement anisotropes : perméabilité, perméabilité, indice de propagation, impédance, couplage magnéto-optique… En 1D, un développement perturbatif à ordre élevé a montré la possibilité d’obtenir du magnétisme et du couplage magnéto-optique artificiels avec un faible contraste [Liu-4].
Il a également été montré pour la première fois que les paramètres effectifs vérifient à toutes les fréquences la causalité et la passivité [Liu-2] : ce résultat ouvre la voie à une nouvelle modélisation des structures périodiques utilisant les relations de Kramers-Kronig (figure 1.2).
Pour les cristaux photoniques 2D, la méthode proposée consiste à minimiser la différence entre le champ diffracté par le cristal et celui par un milieu homogène caractérisé par les paramètres effectifs recherchés.
Cette méthode a permis d’établir un nouveau critère de validité de l’homogénéisation indiquant que l’erreur induite par le modèle homogène augmente avec le magnétisme artificiel [Tsu-1].
Cette règle a été confirmée pour la dépendance angulaire en utilisant une autre méthode basée sur l’analyse des relations de dispersion. Enfin, les résultats les plus récents ont montré les limites de l’homogénéisation des cristaux photoniques aux fréquences des bandes élevées [Mar-1].
La deuxième approche, de type perturbative en bord de bande, dite d’homogénéisation hautes fréquences, est mise en œuvre à l’Institut Fresnel pour modéliser les propriétés effectives des structures périodiques en régime de Bragg [Cra-2, Cra-3, Cra-4, Ant-2, Tri-2, Tri-4] (optique et élasticité).
A noter que les percées effectuées en électromagnétisme ouvrent la voie vers des métamatériaux bi-anisotropes en optique régis par les équations de Maxwell-Tellegen et aussi vers des métamatériaux élastodynamiques régis par les équations de Willis modifiées.

[Liu-4] Yan Liu, Sébastien Guenneau, Boris Gralak. Artificial dispersion via high-order homogenization : magnetoelectric coupling and magnetism from dielectric layers. Proceedings of the Royal Society of London, 2013, 469 (20130240).
[Liu-2] Yan Liu, Sébastien Guenneau, Boris Gralak. Causality and passivity properties of effective parameters of electromagnetic multilayered structures. Physical Review B, 2013, 88, pp.165104.
[Tsu-1] Igor Tsukerman, Vadim Markel. Nonasymptotic homogenization of periodic electromagnetic structures : Uncertainty principles. Physical Review B, 2016, 93 (2), pp.024418.
[Mar-1] Vadim Markel. Introduction to the Maxwell Garnett approximation : tutorial. Journal of the Optical Society of America A, 2016, 33 (7), pp.1244-1256.
[Cra-2] Richard Craster, Tryfon Antonakakis, Maria Makwana, Sébastien Guenneau. Dangers of using the edges of the Brillouin zone. Physical Review B, 2012, 86, pp.115130.
[Cra-3] Richard Craster, Sébastien Guenneau, Julius Kaplunov, Evgeniya Nolde. On a class of three-phase checkerboards with unusual effective properties. Comptes Rendus Mécanique, 2011-, 339, pp.411-417.
[Cra-4] Richard Craster, Julius Kaplunov, Evgeniya Nolde, Sébastien Guenneau. High frequency homogenization for checkerboard structures : defect modes, ultra-refraction and all-angle-negative refraction. Journal of the Optical Society of America A, 2011, 28 (6), pp.1032-1040.
[Ant-2] Tryfon Antonakakis, Richard Craster, Sébastien Guenneau. High-frequency homogenization of zero-frequency stop band photonic and phononic crystals. New Journal of Physics, 2013, 15, pp.103014.
[Tri-2] Antonakakis Trifon, Richard Craster, Sébastien Guenneau. Homogenisation for elastic photonic crystals and dynamic anisotropy. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 2014, 71, pp.84.
[Tri-4] Antonakakis Trifon, Richard Craster, Sébastien Guenneau. Asymptotics for metamaterials and photonic crystals. Proceedings of the Royal Society A, 2013, 469, pp.20120533.