Jalal FADILI « Régularisation faible complexité des problèmes inverses : (...)

Jalal FADILI « Régularisation faible complexité des problèmes inverses : de la théorie à la pratique » le 17 Mars 2015 à 10h30 en salle Pierre Cotton

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M. Jalal Fadili, GREYC CNRS UMR 6072, ENSICAEN

Résumé : Les problèmes inverses sont omniprésents dans une multitude de disciplines, allant de la physique aux mathématiques en passant par l’informatique, la théorie du signal et des images, ou encore en statistiques et en apprentissage. Dans cet exposé, on décrira en détail le triptyque au cœur des problèmes inverses, à savoir : la modélisation du problème direct, le modèle d’à-priori sur les objets à recouvrer, et finalement les algorithmes d’inversion.
Modéliser le problème direct requiert d’établir un modèle de formation de l’objet, e.g. image. Pour pallier au caractère mal posé du problème, la démarche classique consiste à incorporer des connaissances supplémentaires permettant de réduire l’espace des solutions candidates, traduisant par exemple des propriétés de régularité de la solution. Nous allons décrire dans cet exposé des a priori dits de faible complexité, que l’on définira précisément.
En alliant le modèle direct et l’a priori sur la classe d’objets à retrouver, le problème inverse est généralement formulé dans un cadre variationnel, comme la minimisation d’une fonctionnelle objective. Dans cet exposé, nous décrivons plusieurs contributions de plusieurs ordres :

Théoriques : on établira les propriétés quantitatives des solutions attendues, leurs liens avec l’objet original, et les conditions sous lesquelles on peut théoriquement garantir que la ou les solutions s’approche(nt) de l’objet original (dans plusieurs sens que l’on définira). On étudiera en particulier la sensibilité/stabilité des solutions à la présence de bruit.
Algorithmiques : on décrira une classe d’algorithmes itératifs de minimisation du problème variationnel, leurs garanties de convergence, et les propriétés des itérées produites en lien avec le problème inverse résolu.
Applicatives : on détaillera quelques applications de ces résultats sur plusieurs modalités d’imagerie, notamment en imagerie astronomique et médicale.
Invitation :Claude AMRA claude.amra@fresnel.fr