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Fonctions de Herglotz appliquées aux systèmes dispersifs

Les fonctions de Herglotz-Nevanlinna sont des fonctions analytiques dont la partie imaginaire est positive dans une région tubulaire donnée (à l’instar du demi-plan supérieur du plan complexe). Découvertes dans les années 1920, ces fonctions ont une longue histoire en analyse (théorie spectrale, problème des moments, ...) et apparaissent aussi plus récemment comme un outil fondamental en sciences appliquées pour étudier : les milieux électromagnétiques dispersifs [2] comme les métamatériaux, les tenseurs effectifs dans les matériaux composites [4] et l’opérateur de “Dirichlet-to-Neumann” (DtN) dans le cadre des problèmes inverses [3]. Pour les matériaux dispersifs passifs, ces fonctions apparaissent naturellement dans les lois constitutives du matériau en fréquence en tant que contrepartie de la causalité et de la passivité en régime transitoire. Dans ce contexte, elles déterminent la permittivité et la perméabilité des matériaux fonctions de la fréquence. Elles constituent donc tout d’abord pour l’équipe Epsilon un outil mathématique essentiel pour modéliser dispersion, à savoir la dépendance en fréquence de la réponse d’un système passif à une excitation. Elles permettent notamment à l’aide de la formulation augmentée de réécrire les équations de Maxwell dispersives sous la forme d’une équation de Schrödinger conservative et d’étudier dans ce formalisme “auto-adjoint” la propagation des ondes dans un milieu dispersif [1, 2].

Dans un deuxième temps, les propriétés mathématiques de ces fonctions (représentations intégrales, relations de sommation, développements en fractions continues, ...) s’avèrent extrêmement efficaces pour établir des limites fondamentales et des inégalités quantitatives relatives à un phénomène physique en fonction de la fréquence (pour les systèmes dispersifs) ou de la géométrie (pour les matériaux composites). De plus, des résultats d’optimalité sur de telles inégalités pour une classe de matériaux donnée génèrent de nombreuses applications dans le domaine de l’électromagnétisme et de la conception de composites. Nous nous intéressons à ce titre à l’étude de limites fondamentales pour le problème de “cloaking” sur une bande de fréquence. Des premiers résultats ont été obtenues en régime quasi-statique [1].

Nous soulignons enfin que la connexion récente entre l’opérateur DtN et ces fonctions constitue une percée dans le domaine des problèmes inverses et de l’imagerie dans les milieux composites [3]. Les problèmes actuels nécessitent donc à la fois une compréhension profonde des fonctions de Herglotz-Nevanlinna d’une variable mais aussi de plusieurs variables (citons par exemple le cas d’un matériau composite comportant au moins trois phases ou d’un milieu dispersif dont la permittivité dépend à la fois du nombre d’onde et de la fréquence). Un autre défi, aujourd’hui crucial, pour certaines applications est de traiter des fonctions de Herglotz-Nevanlinna à valeur opérateur à l’instar de l’opérateur DtN dans le cadre du “cloaking” et des problèmes inverses [4]. C’est dans ce cadre que se déroule la recherche de l’équipe Epsilon sur ce sujet très novateur et pluridisciplinaires.

Références :

[1] M. Cassier and G.W. Milton, Bounds on Herglotz functions and fundamental limits of broadband passive quasi-static cloaking, J. Math. Phys. 58 (7), 071504, 2017.

[2] M. Cassier, P. Joly and M. Kachanovska, Mathematical models for dispersive electromagnetic waves : an overview, Computers & Mathematics with Applications 74 (11), pp. 2639-2928, 2017.

[3] M. Cassier, A. Welters and G. W. Milton, Analyticity of the Dirichlet-to-Neumann map for the tim eharmonic Maxwell’s equations, chapter in Extending the theory of composites to other areas of science edited by G. W. Milton (2016) and reviewed by the J. Appl. Mech. and by SIAM Rev., pp 95-122, 2016.

[4] M. Cassier, A. Welters and G. W. Milton, A rigorous approach to the field recursion method for a two-component composites with isotropic phases, chapter in Extending the theory of composites to other areas of science edited by G. W. Milton (2016) and reviewed by the J. Appl. Mech. and by SIAM Rev., pp. 287-307, 2016.